Критерий на Хурвиц. Критерии за стабилност на Wald, Hurwitz, Savage

2024 Автор: Henry Conors | [email protected]. Последно модифициран: 2024-02-12 04:11

Статията обсъжда такива понятия като критериите на Хурвиц, Савидж и Уолд. Акцентът е основно върху първия. Критерият на Хурвиц е описан подробно както от алгебрична гледна точка, така и от гледна точка на вземането на решения при несигурност.

Заслужава си да започнем с дефиниция за устойчивост. Характеризира способността на системата да се върне в равновесно състояние след края на смущението, което е нарушило предварително формираното равновесие.

Важно е да се отбележи, че нейният противник - нестабилна система - непрекъснато се отдалечава от своето равновесно състояние (осцилира около него) с връщаща се амплитуда.

Критерии за устойчивост: дефиниция, типове

Това е набор от правила, които ви позволяват да прецените съществуващите знаци на корените на характеристичното уравнение, без да търсите неговото решение. А последните от своя страна дават възможност да се прецени стабилността на определена система.

По правило те са:

• алгебрични (съставяне на алгебрични изрази според специфично характеристично уравнение с помощта на специалниправила, които характеризират стабилността на ACS);
• честота (обект на изследване - честотни характеристики).

Хурвиц критерий за стабилност от алгебрична гледна точка

Това е алгебричен критерий, който предполага разглеждане на определено характеристично уравнение под формата на стандартна форма:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0.

Използвайки нейните коефициенти, матрицата на Хурвиц се формира.

Правилото за компилиране на матрицата на Хурвиц

В посока отгоре надолу всички коефициенти на съответното характеристично уравнение се изписват по ред, като се започне от aᵥ₋₁ до a0. Във всички колони надолу от главния диагонал се посочват коефициентите на нарастващи мощности на оператора p, след това нагоре - намаляващи. Липсващите елементи се заменят с нули.

Общоприето е, че системата е стабилна, когато всички налични диагонални минори на разглежданата матрица са положителни. Ако главният детерминант е равен на нула, тогава можем да говорим, че той е на границата на стабилност и aᵥ=0. Ако другите условия са изпълнени, разглежданата система се намира на границата на нова апериодична стабилност (предпоследният минор се приравнява на нула). С положителна стойност на останалите непълнолетни - на границата на вече осцилаторната стабилност.

Вземане на решения в ситуация на несигурност: критерии на Wald, Hurwitz, Savage

Те са критериите за избор на най-подходящия вариант на стратегията. Критерият Savage (Hurwitz, Wald) се използва в ситуации, при които има несигурни априорни вероятности за природните състояния. Тяхната основа е анализът на матрицата на риска или на платежната матрица. Ако вероятностното разпределение на бъдещите състояния е неизвестно, цялата налична информация се свежда до списък с възможните й опции.

И така, струва си да започнем с максиминния критерий на Уолд. Той действа като критерий за изключителен песимизъм (предпазлив наблюдател). Този критерий може да се формира както за чисти, така и за смесени стратегии.

Получи името си въз основа на предположението на статистика, че природата може да реализира състояния, при които размерът на печалбата се равнява на най-малката стойност.

Този критерий е идентичен с песимистичния, който се използва при решаване на матрични игри, най-често в чисти стратегии. Така че, първо трябва да изберете минималната стойност на елемента от всеки ред. След това се избира стратегията на вземащия решение, която съответства на максималния елемент сред вече избраните минимални.

Избраните от разглеждания критерий опции са безрискови, тъй като вземащият решение не е изправен пред по-лош резултат от този, който действа като ориентир.

Така че, според критерия на Wald, чистата стратегия е призната за най-приемлива, тъй като гарантира максимална печалба в най-лошите условия.

След това разгледайте критерия на Савидж. Тук, при избора на едно от наличните решения, на практика, като правило, се спират на това, което ще доведе до минимални последици в случай, чеако изборът все пак се окаже грешен.

Съгласно този принцип всяко решение се характеризира с определен размер на допълнителни загуби, възникващи в хода на неговото изпълнение, в сравнение с правилното в съществуващото природно състояние. Очевидно правилното решение не може да понесе допълнителни загуби, поради което стойността им е приравнена на нула. Следователно, най-целесъобразната стратегия е тази, при която размерът на загубите е минимален при най-лошия набор от обстоятелства.

Критерий за песимизъм-оптимизъм

Това е друго име за критерия на Хурвиц. В процеса на избор на решение, в хода на оценката на текущата ситуация, вместо две крайности, те се придържат към така наречената междинна позиция, която отчита вероятността както от благоприятно, така и от най-лошо поведение на природата.

Този компромис беше предложен от Hurwitz. Според него за всяко решение трябва да зададете линейна комбинация от min и max, след което да изберете стратегия, която съответства на най-голямата им стойност.

Кога въпросният критерий е оправдан?

Препоръчително е да използвате критерия на Хурвиц в ситуация, характеризираща се със следните характеристики:

1. Има нужда да се вземе предвид най-лошият случай.
2. Липса на познания относно вероятностите на природните състояния.
3. Нека поемем малко риск.
4. Внедрени са сравнително малък брой решения.

Заключение

И накрая, би било полезно да си припомним, че статиятаКритерии на Хурвиц, Савидж и Валд. Критерият на Хурвиц е описан подробно от различни гледни точки.