Равновесието на Неш. Теория на игрите за икономисти (Джон Наш)

2024 Автор: Henry Conors | [email protected]. Последно модифициран: 2024-02-12 04:08

През 30-те години на миналия век Джон фон Нойман и Оскар Моргенщерн стават основателите на нов и интересен клон на математиката, наречен "теория на игрите". През 50-те години на миналия век младият математик Джон Наш се интересува от тази посока. Теорията на равновесието става предмет на дисертацията му, която пише на 21-годишна възраст. Така се ражда нова стратегия за игра, наречена "Nash Equilibrium", която печели Нобелова награда много години по-късно - през 1994 г.

Дългата разлика между писането на дисертация и общото признание се превърна в тест за математик. Гениалността без признание доведе до сериозни психични разстройства, но Джон Наш успя да реши този проблем благодарение на отличния си логически ум. Неговата теория за равновесието на Неш спечели Нобелова награда и животът му беше заснет в Beautiful mind.

Накратко за теорията на игрите

Тъй като теорията за равновесието на Неш обяснява поведението на хората в условията на взаимодействие, си струва да разгледаме основните концепции на теорията на игрите.

Теорията на игрите изучава поведението на участниците (агентите) по отношение на взаимодействие помежду си като игра, когато резултатът зависи от решението и поведението на няколко души. Участникът взема решения въз основа на своите прогнози за поведението на другите, което се нарича стратегия на играта.

Има и доминираща стратегия, при която участникът получава най-добрия резултат за всяко поведение на други участници. Това е най-добрата печеливша стратегия на играча.

Дилемата на затворника и научен пробив

Дилемата на затворника е случай на игра, в която участниците са принудени да вземат рационални решения, постигайки обща цел в лицето на конфликт на алтернативи. Въпросът е кой от тези варианти ще избере той, осъзнавайки личен и общ интерес, както и невъзможността да получи и двете. Играчите изглежда са затворени в тежка игрова среда, което понякога ги кара да мислят много продуктивно.

Тази дилема е изследвана от американския математик Джон Наш. Балансът, който той постигна, беше революционен по свой начин. Особено ярко тази нова мисъл повлия на мнението на икономистите за това как пазарните играчи правят избор, като вземат предвид интересите на другите, с тясно взаимодействие и пресичане на интереси.

Най-добре е да изучавате теорията на игрите чрез конкретни примери, тъй като тази математическа дисциплина сама по себе си не е чисто теоретична.

Пример за дилемата на затворника

Пример, двама души извършиха грабеж, попаднаха в ръцете на полицията и се разпитват в отделни килии. В същото време полицаите предлагат на всеки участник изгодни условия, при които той ще бъде освободен, ако свидетелства срещу партньора си. Всеки отпрестъпниците имат следния набор от стратегии, които той ще вземе предвид:

И двамата свидетелстват едновременно и получават 2,5 години затвор.
И двамата мълчат едновременно и получават по 1 година всеки, защото в този случай доказателствената база за тяхната вина ще бъде малка.
Един свидетелства и е освободен, докато другият мълчи и получава 5 години затвор.

Очевидно изходът на делото зависи от решението и на двамата участници, но те не могат да се съгласят, защото седят в различни килии. Ясно се вижда и конфликтът на личните им интереси в борбата за общ интерес. Всеки от затворниците има две възможности за действие и 4 варианта за изход.

Верига от логически изводи

И така, нарушител А обмисля следните опции:

Аз мълча и партньорът ми мълчи - и двамата ще получим 1 година затвор.
Предавам партньора си и той ме предава - и двамата получаваме 2,5 години затвор.
Мълча, а партньорът ми ме предава - ще получа 5 години затвор и той ще бъде на свобода.
Предавам партньора си, но той мълчи - получавам свобода, а той получава 5 години затвор.

Нека дадем матрица от възможни решения и резултати за яснота.

Таблица с възможните резултати от дилемата на затворника.

Въпросът е какво ще избере всеки състезател?

"Мълчи, не можеш да говориш" или "Не можеш да мълчиш, не можеш да говориш"

За да разберете избора на участника, трябва да преминете през веригата на неговите мисли. Следвайки мотивите на престъпник А: ако аз мълча и моят партньор мълчи, ще получим минимален срок (1 година), но азНе знам как ще се държи. Ако той свидетелства срещу мен, тогава е по-добре аз да свидетелствам, иначе мога да седна 5 години. Предпочитам да седна 2,5 години, отколкото 5 години. Ако той мълчи, толкова повече трябва да свидетелствам, защото така ще получа свободата си. Участник B.

Не е трудно да се види, че доминиращата стратегия за всеки от извършителите е да свидетелства. Оптималната точка на тази игра идва, когато и двамата престъпници свидетелстват и получат своята "награда" - 2,5 години затвор. Теорията на игрите на Неш нарича това равновесие.

Неоптимално оптимално решение на Nash

Революционната природа на нашианската гледна точка е, че такова равновесие не е оптимално, когато се вземе предвид отделният участник и неговият личен интерес. В крайна сметка най-добрият вариант е да мълчите и да се освободите.

Равновесието на Наш е точка на сближаване на интересите, при която всеки участник избира опцията, която е оптимална за него, само ако други участници изберат определена стратегия.

Имайки предвид опцията, когато и двамата престъпници мълчат и получават само 1 година, можем да го наречем оптимален за Парето вариант. Това обаче е възможно само ако престъпниците успеят да се договорят предварително. Но дори и това не би гарантирало този резултат, тъй като изкушението да се отстъпи от споразумението и да се избегне наказанието е голямо. Липсата на пълно доверие един в друг и опасността от получаване на 5 години принудени да изберат варианта с признание. Помислете към какво ще се придържат участницитевариант с мълчание, действащ съгласувано, е просто ирационален. Такъв извод може да се направи, ако изследваме равновесието на Неш. Примерите само доказват, че сте прав.

Егоистично или рационално

Теорията за равновесието на Неш доведе до изумителни заключения, които опровергаха принципите, съществували преди. Например, Адам Смит смята поведението на всеки от участниците като напълно егоистично, което доведе системата до баланс. Тази теория беше наречена „невидимата ръка на пазара“.

Джон Наш видя, че ако всички участници действат в собствените си интереси, това никога няма да доведе до оптимален групов резултат. Като се има предвид, че рационалното мислене е присъщо на всеки участник, изборът, предложен от стратегията за равновесие на Неш, е по-вероятен.

Чисто мъжки експеримент

Отличен пример е играта на блондинките с парадокс, която, макар и да изглежда неуместна, е ясна илюстрация за това как работи теорията на игрите на Неш.

В тази игра трябва да си представите, че компания от свободни момчета дойде в бар. Наблизо е компания от момичета, едно от които е за предпочитане пред други, да речем блондинка. Как постъпват момчетата, за да си намерят най-добрата приятелка?

И така, разсъжденията на момчетата: ако всички започнат да се запознават с блондинката, тогава най-вероятно никой няма да го разбере, тогава нейните приятели няма да искат да се запознаят. Никой не иска да бъде вторият резервен вариант. Но ако момчетата решат да избягватблондинка, тогава вероятността всяко от момчетата да намери добра приятелка сред момичетата е голяма.

Ситуацията на равновесието на Наш не е оптимална за момчетата, защото, преследвайки само своите егоистични интереси, всеки би избрал блондинката. Вижда се, че преследването само на егоистични интереси ще бъде равносилно на краха на груповите интереси. Равновесието на Неш ще означава, че всеки човек действа в собствените си интереси, които са в контакт с интересите на цялата група. Това не е най-добрият вариант за всеки лично, но най-добрият за всеки въз основа на цялостната стратегия за успех.

Целият ни живот е игра

Вземането на решения в реалния свят много прилича на игра, в която очаквате определени рационални поведения и от други участници. В бизнеса, на работа, в екип, в компания и дори в отношенията с противоположния пол. От големи сделки до обикновени житейски ситуации, всичко се подчинява на един или друг закон.

Разбира се, горните игрови ситуации с престъпници и бар са просто отлични илюстрации, които демонстрират равновесието на Наш. Примери за подобни дилеми много често възникват на реалния пазар и това работи особено в случаите, когато двама монополисти контролират пазара.

Смесени стратегии

Често участваме не в една, а в няколко игри наведнъж. Избирайки една от опциите в една игра, ръководейки се от рационална стратегия, но се оказвате в друга игра. След няколко рационални решения може да откриете, че резултатът ви не ви харесва. Каквовземете?

Нека разгледаме два типа стратегии:

Чиста стратегия е поведението на участника, което идва от мисленето за възможното поведение на други участници.
Смесена стратегия или произволна стратегия е редуването на чисти стратегии на случаен принцип или изборът на чиста стратегия с определена вероятност. Тази стратегия се нарича още рандомизирана.

Имайки предвид това поведение, получаваме нов поглед върху равновесието на Неш. Ако по-рано беше казано, че играчът избира стратегия веднъж, тогава може да се представи друго поведение. Може да се предположи, че играчите избират стратегия на случаен принцип с определена вероятност. Игрите, които не могат да намерят равновесието на Неш в чисти стратегии, винаги ги имат в смесени стратегии.

Равновесието на Неш в смесените стратегии се нарича смесено равновесие. Това е равновесие, при което всеки участник избира оптималната честота за избор на своите стратегии, при условие че другите участници избират своите стратегии с дадена честота.

Наказания и смесена стратегия

Пример за смесена стратегия може да се намери във футболната игра. Най-добрата илюстрация на смесена стратегия е може би дузпи. И така, имаме вратар, който може да скочи само в един ъгъл, и играч, който ще изпълни дузпата.

И така, ако за първи път играчът избере стратегията да стреля в левия ъгъл, а вратарят също падне в този ъгъл и улови топката, как могат да се развият нещата при втория път? Ако играчътще удари в противоположния ъгъл, това най-вероятно е твърде очевидно, но удрянето в същия ъгъл е не по-малко очевидно. Следователно, както вратарят, така и кикърът нямат друг избор, освен да разчитат на случаен избор.

По този начин, чрез редуване на произволен избор с определена чиста стратегия, играчът и вратарят се опитват да постигнат максимален резултат.