Геометричният обект, наречен по-късно "бутилката на Клайн", е описан за първи път през 1882 г. от немския математик Феликс Клайн. Какво представлява той? Този обект (или по-скоро геометрична или топологична повърхност) просто не може да съществува в нашия триизмерен свят. Всички модели, които се продават в магазините за сувенири, имат външен вид, който дава само бегла представа за това какво е бутилка на Klein.
За по-голяма яснота е описано по следния начин: представете си бутилка с много дълго гърло. След това мислено направете две дупки в него: едната в стената, а втората в дъното. След това огънете врата, поставете го в отвора в стената и го изведете през отвора в дъното. Полученият обект ще бъде проекция на четириизмерен космически обект, който е истинската бутилка на Клайн, в нашето триизмерно пространство.
Описание на бутилката Klein на езика на математическите термини илиформулите няма да кажат нищо на лаика. Такава дефиниция ще удовлетвори ли много хора: бутилката на Клайн е неориентируем колектор (или повърхност), който има редица свойства. След думата "свойства" можете да изградите дълга серия, състояща се от тригонометрични функции, числа и гръцки и латински букви. Но това може само да обърка неподготвен човек, който вече е получил представа за това каква е проекцията на бутилка в триизмерно пространство.
Интересен факт: името „бутилка на Клайн” е дадено на този обект, най-вероятно поради грешка или типографска грешка на преводача. Факт е, че Клайн в своята дефиниция използва думата Fläche, тоест „повърхност“на немски. Когато „пътува“от Германия до други страни, тази дума се трансформира в подобно изписване Flasche (бутилка). След това терминът се връща в страната на произход в нова, променена форма и остава така завинаги.
За много културни дейци (предимно писатели на научна фантастика) самият термин "бутилка на Клайн" се оказа привлекателен. Използването му като атрибут, а понякога и като главен герой, се превърна в знак за „интелектуална“измислица. Такъв например е разказът "Последният илюзионист", написан от Брус Елиът. В историята асистентът на магьосник се разправя с покровителя си, който правеше трикове с четириизмерна бутилка на Клайн. Илюзионистът, който се качи в бутилката, остава наполовина потопен в нея. Според автора тази бутилка не може да бъде счупена, без да се повреди съдържанието. Наистина ли е така - не мога да кажанито един. Поне математиците, които може би биха могли да отговорят на този въпрос, не бяха озадачени от това, за науката това е без значение.
Понякога специално направени бутилки Klein се пълнят с вино за промоционални цели. Вярно е, че е технически трудно да се направи такава стъклена бутилка, за това е необходима стъклена духалка от екстра клас. Поради това има доста висока цена и се използва рядко. И развитието на технологията и производството на такива бутилки на поток няма смисъл, защото за това ще е необходимо да се изработи методът за пълнене на бутилката с течност (и тук има трудности). А усещането за необичайност и новост бързо ще бъде заменено от неудобството да наливаш вино от такава бутилка в чаши.
